Quantité de déchets ménagers

Les résultats seront arrondis à l’unité.

La quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a été de \(537\)  kg en 2019 et la municipalité espère réduire ensuite cette production de \(1,5\)  % par an.

Pour tout entier naturel \(n\) , on note \(d_n\) la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l’année \(2019+n\) , on a donc \(d_0=537\) .

1. Montrer par un calcul que \(d_1=0,985\times d_0\) .

2. Pour tout entier naturel \(n\) , exprimer \(d_{n+1}\)  en fonction de \(d_n\) .

3. En déduire la nature de la suite \((d_n)\)  puis une expression de \(d_n\)  en fonction de \(n\) .

4. On souhaite savoir à partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en \(2019\) au niveau national, à savoir  \(513\)  kg.
Pour cela, on considère l’algorithme suivant rédigé en langage Python.

\(\begin{array}{}1\quad\texttt{def ann}\text{é}\texttt{e} () :\\2\quad\qquad\texttt{n = 0}\\3\quad\qquad\texttt{d = 537}\\4\quad\qquad\texttt{While d > }\cdots \; :\\5\qquad\qquad\quad\texttt{n = n + 1}\\6\qquad\qquad\quad\texttt{d = }\cdots\\7\quad\qquad\texttt{return (n)}\end{array}\)

    a. Recopier et compléter l’algorithme afin de répondre au problème posé.
    b. À partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera-t-elle inférieure à celle enregistrée en \(2019\) au niveau national ?